Espaço euclideano é uma massinha de modelar

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Espaço topológico

Um conjunto não faz uma distinção relacional entre seus elementos: o conjunto \(\{1, 2\}\) é exatamente igual ao conjunto \(\{2, 1\}\).

Pense no caso tridimensional: um conjunto de pontos pode ser pensado como um conjunto de grãos de areia amontoados: se você sacudir os grãos você modifica a sua ordem. Nesse caso, os grãos não guardam nenhuma relação entre si.

Uma coisa diferente acontece se você considerar uma massinha de modelar: os pontos mais proximos se distanciam ou se aproximam quando você deforma a massinha.

Isso equivale a dizer que o \(\mathbb{R}^3\) do ponto de vista de conjunto é equivalente ao amontoado de areia, enquanto que do ponto de vista topológico ele é equivalente à massinha de modelar.

Isso ilustra como a topologia introduz uma estrutura adicional ao conjunto, que é um conceito bem mais fundamental e "grosseiro".