Princípio Cosmológico

O Princípio Cosmológico pode ser enunciado da seguinte forma:

Visto de uma escala suficientemente grande, as propriedades do universo são as mesmas para todos os observadores.

Uma consequência do princípio cosmológico é que as leis da física são universais: as mesmas leis que se aplicam aqui na terra também funcionam para estrelas, galáxias, e todas as partes do universo. Isso tem também uma hipótese oculta: a de que as constantes físicas são universais e imutáveis na posição e ao longo do tempo.

De http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec05.html:

In later years with Freud, man lost his Godlike mind; with Darwin his exalted place among the creatures of the Earth; with Copernicus man had lost his privileged position in the Universe.

As consequências testáveis deste princípio são a homogeneidade e isotropia do universo.

1 Evidências observacionais

1.1 Radiação Cósmica de Fundo

À medida em que o universo esfria, ele permite que as partículas de uma dada natureza se tornem livres de interação. Por exemplo, os fótons se tornam livre no período de desacoplamento (da história do universo), e é o que vemos hoje como radiação cósmica de fundo. Podemos ter uma série de outras partículas/radiação, como neutrinos.

1.1.1 Primeira dedução teórica (5K)

1.2 Lei de Hubble

Quanto mais distante uma galáxia se encontra, mais rápida será a velocidade observada (redshift, que é o alargamento do comprimento de onda)

2 Enunciado matemático

Um enunciado mais preciso do princípio cosmológico é a hipótese de que

Existe uma função tempo \(t\) tal que em cada uma de suas superfícies de nível

\begin{equation} \label{eq:3} \Sigma_\tau := \{p: t(p) = \tau\} \end{equation}

o universo pareça o mesmo em qualquer ponto e em qualquer direção (homogêneo e isotrópico).

As superfícies \(\Sigma_{\tau}\) são chamadas superfícies de homogeneidade.

2.1 Homogeneidade

A hipótese de homogeneidade (espacial) pode ser enunciada de forma mais precisa dizendo-se que para em cada superfície \(\Sigma_{\tau}\), quaisquer dois pontos \(p,q\in\Sigma_{\tau}\) existir uma isometria \(\phi\) que

\begin{equation} \label{eq:5} \phi(p) = q. \end{equation}

Essa isometria expressa uma simetria de translação, e logo nos diz que dois pontos no universo são "equivalentes".

2.2 Isotropia

Dada uma congruência de observadores, um espaço-tempo é dito espacialmente isotrópico se para cada observador, em um ponto \(p\) de sua linha-mundo existir uma isometria \(\phi\) que

\begin{align} \label{eq:6} \phi(p) = p\\ \phi_{\ast}(U) = U\\ \phi_{\ast}(e_i) = e_j, \end{align}

onde \(e_i, e_j\) são quaisquer dois vetores da base carregada pelo observador e \(U = e_0\).

2.3 Métrica

A existência de uma função tempo \(t\) nos permite reescrever a métrica em um sistema de coordenadas \((x^0 = t, x^i)\) como

\begin{equation} \label{eq:4} {\mathrm{d}s}^2 = -V^2({\mathrm{d}t} - \alpha_i{\mathrm{d}x^i}) + h_{ij}{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}x^j} \end{equation}

Um espaço-tempo é homogêneo e isotrópico se possuir um conjunto \(J_1, J_2, J_3, P_1, P_2, P_3\) de campos de Killing satisfazendo a álgebra

\begin{align} \label{eq:2} [J_a, J_b] &= \epsilon_{abc} J_c\\ [P_a, P_b] &= 0 \\ [J_a, P_b] &= \epsilon_{abc} P_c \end{align}

O espaço