Métrica de espaço-tempo globalmente hiperbólico

Seja \((M, g)\) um espaço-tempo globalmente hiperbólico. \(t:M \to \mathbb{R}\) é a função tempo. \(\Sigma_{\tau} = \{p\in M | t(p) = \tau\}\) são as hipersuperfícies da foliação

1 Função lapso

a função tempo define automaticamente a 1-forma \(\mathrm{d}t\) (gradiente), e o a sua norma é relacionada à chamada função lapso:

\begin{equation} g^{\sharp}(\mathrm{d}t, \mathrm{d}t) = -\frac{1}{\alpha^2} \end{equation}

e definimos a versão normalizada de \(\mathrm{d}t\):

\begin{equation} n = \alpha\,\mathrm{d}t \end{equation}

que tem-se

\begin{align} g^{\sharp}(n,n) &= g^{\sharp}(\alpha\,\mathrm{d}t, \alpha\,\mathrm{d}t)\\ &= \alpha^2 g^{\sharp}(\mathrm{d}t, \mathrm{d}t)\\ &= \alpha^2 \bigg(-\frac{1}{\alpha^2}\bigg)\\ &= -1 \end{align}

Por construção \(\alpha > 0\).

Seja um campo \(T\) tal que \(\mathrm{d}t(T) = 1\). Tal campo é chamado evolução temporal.

Desse vetor temos \[ n(T) = \alpha\, \mathrm{d}t(T) = \alpha \] isto é, a projeção na parte normal às hipersuperfícies é o lapso.

A parte "que sobra desse vetor", que é tangente à superfície \(\Sigma_t\), denominamos deslocamento: \[ \beta = T^{\flat} - n(T)n \] Observe que um vetor \(V\) qualquer pode ser escrito da seguinte forma:

\begin{align} V &= V - n(V)n^{\sharp} + n(V)n^{\sharp}\\ &= - n(V)n^{\sharp} + (V + n(V)n^{\sharp})\\ &= - n(V)n^{\sharp} + P(V),\quad P(V) = V + n(V)n^{\sharp} \end{align}

E veja que \(n(P(V)) = n(V) + n(V)n(n^{\sharp}) = 0\). Assim, a aplicação \[ P(\cdot) = \mathrm{Id}(\cdot) + n(\cdot)n^{\sharp} \] projeta um vetor no espaço tangente à hipersuperfície da foliação.

2 Decomposição da métrica

Assim, dados dois campos \(X,Y\),

\begin{align} g(X,Y) &= g(-n(X)n^{\sharp} + P(X), -n(Y)n^{\sharp} + P(Y)) \\ &= -n(X)\,g(n^{\sharp}, -n(Y)n^{\sharp} + P(Y)) + g(P(X), -n(Y)n^{\sharp} + P(Y)) \\ &= -n(X)\,\big[-n(Y)\,g(n^{\sharp}, n^{\sharp}) + g(n^{\sharp}, P(Y))\big] - n(Y)\,g(P(X), n^{\sharp}) + g(P(X), P(Y)) \\ &= n(X)\,n(Y)\,g(n^{\sharp}, n^{\sharp}) - n(X)\,g(n^{\sharp}, P(Y)) - n(Y)\,g(P(X), n^{\sharp}) + g(P(X), P(Y)) \\ &= -n(X)\,n(Y) + g(P(X), P(Y)) \end{align}

Definindo \(h(X,Y) = g(P(X),P(Y))\), podemos escrever \[ g = -n\otimes n + h = -\alpha^{2}{\mathrm{d}t}\otimes{\mathrm{d}t} + h. \]

2.1 Coordenadas

Como \(t\) é um campo escalar sobre \(M\), seja \(f\) sua representação coordenada em uma carta \((U,\bar{x})\): \[ (t\circ \bar{x}^{-1})(x^{\lambda}) = f(x^{\lambda}) \] A métrica então pode ser escrita em termos da base coordenada \(\{\mathrm{d}x^{\lambda}\}\):

\begin{align} g &= -\alpha^{2}\,f_{,\mu}f_{,\nu}\,{\mathrm{d}x^{\mu}}\otimes{\mathrm{d}x^{\nu}} + h\\ &= -\alpha^{2}\,f_{,0}^{2}\,{\mathrm{d}x^0}\otimes{\mathrm{d}x^0} + 2{\mathrm{d}x^0}\otimes\omega + \big(h + f_{,i}f_{,j}{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}x^j}\big) \end{align}

onde \(\omega = -\alpha^{2}\,f_{,0}f_{,i}\mathrm{d}x^i\)