Atlas (geometria)

Um atlas de dimensão \(n\) sobre um conjunto \(M\) é uma coleção \(A_M = \{(U_i, \phi_i)\}_{i \in I}\) de cartas coordenadas de dimensão \(n\) tal que:

  1. \(A_M\) recobre \(M\): \(M = \cup_{i\in I}U_i\);
  2. para quaisquer \(i,j \in I\), as cartas \(\phi_i\) e \(\phi_j\) são compatíveis.

1 Um atlas determina uma topologia

Um subconjunto \(O \subset M\) é dito \(A_M\)-aberto se, para cada ponto \(p\in O\) existir uma carta coordenada \((U,\phi) \in A_M\) tal que \(p\in U\) e \(\phi(O\cap U) \subset \mathbb{R}^2\) é um aberto do espaço Euclideano.

Assim, se tomarmos um conjunto \(M\) e um atlas \(A_M\), a coleção \(\tau_{A_M}\) de subconjuntos \(A_M\)-abertos de \(M\) é uma topologia sobre \(M\). Logo, um conjunto munido de um atlas se torna automaticamente um espaço topológico.

2 Estrutura diferenciável

dado um conjunto \(M\), um atlas \(A_M\) é dito máximo se, sempre que uma carta coordenada \((U, \phi)\) for compatível com todas as cartas de \(A_M\), teremos \((U,\phi) \in A_M\). Um atlas máximo sobre um conjunto \(M\) é também chamada estrutura diferenciável sobre \(M\).

3 Referências

4 Elsewhere in the garden

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