Métrica

1 Definição

Uma métrica sobre uma variedade diferenciável \(M\) é uma aplicação \(g: T_p(M) \times T_p(M) \to \mathbb{R}\) que satisfaz:

  1. (Simétrica): \(g(X, Y) = g(Y, X)\)
  2. (Linearidade): \(g(\alpha X + Y, Z) = \alpha g(X, Z) + g(Y, Z)\)
  3. (Não-degenerada): \(g(X, Y) = 0\) para todo \(Y\) implica \(X = 0\)
  4. As propriedades 1 e 2 implicam que \(g\) é bilinear.
  5. Uma métrica define um produto interno sobre o espaço tangente

2 Assinatura

Dada uma forma bilinear simétrica \(g\) sobre o fibrado tangente, a forma quadrática associada \(Q(X) = g(X,X)\), quando aplicada a cada vetor de qualquer base ortogonal de \(T_p(M)\), produz \(n\) valores reais. Pelo teorema de Sylvester, o número de valores positivos, negativos e nulos (índices de positividade, negatividade e nulidade respectivamente) são invariantes da forma bilinear, não dependendo portanto da base adotada. A assinatura da forma bilinear é a tripla \((p,q,r)\) contendo os índices de positividade (\(p\)), negatividade (\(q\)) e nulidade (\(r\)). No caso da forma bilinear ser uma métrica, a condição adicional de não-degenerescência implica em \(r=0\). Assim, uma métrica é caracterizada pelo par \((p, q)\) e a métrica é dita semi-Riemanniana.

3 Métrica Riemanniana

Uma métrica Riemanniana é uma classe particular de variedades semi-Riemannianas, onde a assinatura da métrica é \((n, 0)\). Ou seja, a métrica é positivo definido.

4 Métrica Lorentziana

Uma métrica Lorentziana é uma classe de métricas semi-Riemannianas, onde a assinatura da métrica é \((1, n-1)\) ou \((n-1, 1)\).