Conexao

Dada uma 1-forma \(\omega_a\) e duas derivadas covariantes \(D_a\) e \(\nabla_a\), a conexão reflete o "quanto" essas duas derivadas discordam:

\begin{equation} \label{eq:1} \nabla_a \omega_b = D_a \omega_b - C^c_{\phantom{c}ab}\omega_c. \end{equation}

onde tensor \(C^a_{\phantom{a}bc}\) é a conexão.

Escolhendo \(D_a = \partial_a\), ou seja, a derivada parcial com respeito a um sistema de coordenadas particular, a conexão é chamada conexão de Levi-Civita: \(C^a_{\phantom{a}bc} = \Gamma^a_{\phantom{a}bc}\). Uma vez que tanto \(\partial\) quando \(\Gamma\) são tensores diferentes em sistemas de coordenadas diferentes, não faz sentido comparar suas componentes, pois não vão guardas as relações esperadas para um tensor (que compara componenentes do mesmo tensor em diferentes sistemas de coordenadas).

Para uma discussão sobre a natureza tensorial (que pode ser confusa), olhar https://arxiv.org/pdf/1512.05760.pdf