Variedade Simplética

Uma variedade simplética é uma variedade diferenciável \(M\) equipada com uma 2-forma fechada e não degenerada \(\Omega\), denominada /forma simplética.

Em outras palavras, a forma simplética é um tensor do tipo \((0, 2)\) sobre \(M\) tal que \(\Omega_{ab} = \Omega_{[ab]}\) e \(\mathrm{d}\Omega = \nabla_{[a}\Omega_{bc]} = 0\).

A propriedade de ser não-degenerada significa que, para qualquer vetor tangente \(V^a\in TM\) a condição \(\Omega_{ab}V^b = 0\) implica em \(V^b = 0\) e vice-versa.

O fato de \(\Omega_{ab}\) ser não degenerada implica que ela possui uma inversa única:

\begin{equation} \Omega^{ab}\Omega_{bc} = \delta^a_{\phantom{a}c} \end{equation}