Sistema de unidades naturais

  • Física

O sistema de unidades utilizado varia conforme a natureza do problema. Mecânicos preferem medir potência em termos de cavalo-vapor (\(\textrm{CV}\)), enquanto engenheiros preferem Watts (\(\textrm{W}\)) e físicos de partículas \(\si{\mega\electronvolt^2}\). Uma boa escolha de unidades pode tornar as magnitudes das quantidades de interesse mais compreensíveis.

Valores numéricos para medidas são, em sua maioria, obtidos por comparação com algum valor de referência, tomado como padrão. Quando dizemos que algo tem dez metros de comprimento, subtende-se que temos algo cujo comprimento é dez vezes maior do que o valor de referência para o metro, cuja definição é

O comprimento do caminho viajado pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de \(\num{1}/\num{299792458}\) de um segundo.

De forma semelhante, existe um padrão adotado para o kilograma1 (calibrado por um cilindro de Platina-Irídio) e para o segundo, baseado nas oscilações do isótopo 133 do Césio. Assim, uma vez que tenhamos uma unidade definida e reprodutível, os resultados de outras medidas passam a ser múltiplos daquela quantidade.

O número de unidades fundamentais, assim como a dimensão de qualquer quantidade física descrita em termos dessas unidades, é completamente arbitrário: representam maneiras diferentes de contar a mesma história. Assim, a escolha de um conjunto de unidades fundamentais é ditado pela sua conveniência, clareza e universalidade dentro do seu campo de aplicação.

O Sistema internacional de unidades (SI) é bastante difundido pelo mundo, e é construído a partir de sete unidades básicas2:

A partir dessas unidades-base, podemos derivar outras unidades tomando produtos de potências das unidades base (que possuem uma estrutura algébrica interessante, como apontado em https://math.stackexchange.com/a/1984987/114526). Por exemplo:

Quantidade Dimensões Unidade SI
Área \([L]^2\) \(\si{\square\meter}\)
Velocidade \([L][T]^{-1}\) \(\si{\meter\per\second}\)
Momento angular \([L]^2[M]\,[T]^{-1}\) \(\si{\kilogram\meter\per\second}\)
Energia \([L]^2[M]\,[T]^{-2}\) \(\si{\kilogram\square\meter\per\square\second}=\si{\joule}\)

Usualmente na física, acontece de as unidades SI não serem adequadas para lidarmos com quantidades que são extraordinariamente pequenas ou extraordinariamente grandes, pois as expressões que descrevem fenômenos nesses regimes são frequentemente muito complicadas e o excesso de parâmetros pode dificultar a compreensão do conteúdo físico essencial. Então, às vezes é conveniente utilizar os chamados sistemas naturais de unidades, em que uma ou mais constantes são tomadas como adimensionais.

Física de Partículas

A Física de partículas é fundamentada na Relatividade Especial e na Mecânica Quântica. A constante mais importante3 da Relatividade Especial é a velocidade da luz no vácuo4,

\begin{equation} c = \SI{299792458}{\meter\per\second}, \label{eq:speed-of-light} \end{equation}

enquanto na Mecânica Quântica as constantes características são a constante de Planck \(h\), usualmente apresentada em sua versão "normalizada" \(\hbar\) 5:

\begin{equation} \hbar = \SI{1.054571800(13)\times 10^{-34}}{\joule\second}, \label{eq:planck-constant} \end{equation}

e a constante de Boltzmann6

\begin{equation} k_{\text{B}} = \SI{1.38064852(79)\times 10^{-23}}{\joule\per\kelvin}. \end{equation}

A constante \(c\) aparece em quase toda equação da relatividade especial (pode checar aqui), assim como \(\hbar\) e \(k_{\text{B}}\) aparecem em quase toda equação da mecânica quântica (pode checar aqui). Assim, parece apropriado definir \(c\), \(\hbar\), e \(k_{\text{B}}\) como unidades fundamentais de velocidade, ação e entropia respectivamente. Isso significa que tomamos essas quantidades como unitárias e adimensionais,

\begin{equation} c = 1,\ \hbar = 1,\ k_{\text{B}} = 1, \label{eq:natural-unit-choice} \end{equation}

de tal forma que elas não aparecem explicitamente como parâmetros. Por exemplo, o invariante de energia na Relatividade Especial, normalmente escrito como \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\), se torna

\begin{equation} E^2 = p^2 + m^2 \end{equation}

na nossa nova escolha de unidades.

Note que a primeira escolha em \eqref{eq:natural-unit-choice} implica que as dimensões de tempo e comprimento estão relacionadas:

\begin{equation} [c] = [L]{[T]}^{-1} = 1 \implies [L] = [T]. \end{equation}

Logo, espaço e tempo estão em pé de igualdade, refletindo a característica principal do princípio da relatividade que é como espaço e tempo são entrelaçados.

De uma forma semelhante, a segunda escolha em \eqref{eq:natural-unit-choice} implica na relação

\begin{equation} [\hbar] = [E][T] = 1\implies [T] = [L] = [E]^{-1} \end{equation}

entre as unidades de energia e tempo. Por último, a escolha de uma constante de Boltzmann normalizada implica

\begin{equation} [k_{\text{B}}] = [E][\Theta]^{-1} = 1\implies [\Theta] = [E], \end{equation}

onde \([\Theta]\) denota a unidade de temperatura.

Com essas escolhas, todas (pelo menos as quantidades de interesse para a teoria) as outras unidades são derivadas como alguma potência da unidade de energia, que é tradicionalmente escolhida como sendo o elétron-volt7:

\begin{align} \SI{1}{\electronvolt} %&= \SI{1/6.241509126(38)e18}{\joule}\\ &= \SI{1.602176621(98)\times 10^{-19}}{\joule}. \end{align}

Por exemplo, em unidades SI um próton8 tem uma energia de repouso

\begin{align} E_{\text{p}} &= m_{\text{p}} c^2\\ &= (\SI{1.672621898(21)\times 10^{-27}}{\kilogram})\times(\SI{299792458}{\meter\per\second})^2\\ &= \SI{1.503277593(19)\times 10^{-10}}{\joule}\\ &= \SI{938.272081(58)}{\mega\electronvolt}. \end{align}

o que implica em \(m_\text{p} \approx \SI{938}{\mega\electronvolt}\) no nosso sistema natural de unidades. Também é comum escrever \(m_\text{p} \approx \SI{938}{\mega\electronvolt}/c^2\), para mostrar explicitamente que a quantidade é uma medida de massa.

Para converter uma quantidade para o sistema natural de unidades nós devemos multiplicá-la por uma combinação de potências de \(c\), \(\hbar\) e \(k_{\text{B}}\) de tal forma que a unidade do resultado final seja alguma potência da unidade de energia. Por exemplo, para a unidade de comprimento \([L]\) devemos ter

\begin{equation} [\hbar^x c^y][L] = [E]^x[L]^{y+1}[T]^{x-y}, \end{equation}

o que nos dá \(x = y = -1\). Então, se tivermos uma régua de um metro, nós podemos dizer que ela mede

\begin{align} \SI{1}{\meter} &= \frac{1}{\hbar c} \SI{1}{\meter}\\ &=\frac{\SI{1}{\meter}}{(\SI{1.054571800(13)\times 10^{-34}}{\joule\second})\times(\SI{299792458}{\meter\per\second})} \\ &= \SI{3.16302878(39)\times 10^{25}}{\per\joule} \\ %&= \frac{\SI{1}{\joule}}{\SI{6.24150934\times 10^{18}}{\electronvolt}}\, \SI{3.163029000\times 10^{25}}{\per\joule} \\ &= \SI{5.0677307(31)\times 10^{6}}{\per\electronvolt}, \end{align}

ou \(\SI{1}{\meter}\approx \SI{5.068\times 10^{6}}{\per\electronvolt}\hbar c\) para explicitar que se trata de uma medida de comprimento. Similarmente, para temperatura procuramos uma combinação

\begin{equation} [k_{\text{B}}]^x[\Theta]=[E]^{z}[L]^{2z}[T]^{-2z}[\Theta]^{-z+1}, \end{equation}

o que nos dá \(z = 1\); logo, a temperatura do Sol9, \(\SI{5778}{\kelvin}\) pode ser expressa no nosso novo sistema de unidades como

\begin{align} \SI{5778}{\kelvin} &= k_{\text{B}}\,\SI{5778}{\kelvin}\\ &= (\SI{1.38064852(79)\times 10^{-23}}{\joule\per\kelvin})\times \SI{5778}{\kelvin}\\ &= \SI{7.977\times 10^{-23}}{\joule}\\ &= \SI{0.4979}{\electronvolt}. \end{align}

Unidades de Planck

No estudo da Gravitação Quântica, um sistema de unidades bastante importante são as unidades de Planck, que define não só \(\hbar = 1\), \(c = 1\) e \(k_{\text{B}} = 1\), mas cinco constantes físicas,

  • Constante gravitacional de Newton10: \(G = \SI{6.67408(31)\times 10^{-11}}{\meter\cubed\per\kilogram\per\second\squared}\)
  • constante de Planck normalizada,
  • velocidade da luz no vácuo,
  • Permissividade do vácuo11, 12: \({(4\pi\varepsilon_0)}^{-1}\), onde \(\varepsilon_0=\SI{8.854187817\times 10^{-12}}{\farad\per\meter}\),
  • Constante de Boltzmann,

como sendo adimensionais e iguais a um:

\begin{equation} \hbar = 1,\ c = 1,\ G = 1,\ (4\pi\varepsilon_0)^{-1}=1,\ k_\text{B}=1. \end{equation}

A partir desse conjunto de unidades, derivamos as outras através de combinações de potências dessas unidades fundamentais.

Como nós temos

Símbolo Dimensão
\(G\) \([L]^3 [M]^{-1} [T]^{-2}\)
\(\hbar\) \([L]^2\,[M]^1\,[T]^{-1}\)
\(c\) \([L]^1\,[T]^{-1}\)
\(\varepsilon_0\) \([L]^{-3}\,[M]^{-1}\,[T]^{2}\,[Q]^{2}\)
\(k_\text{B}\) \([L]^2\,[M]^1\,[T]^{-2}\,[\Theta]^{-1}\)

para recuperar uma medida de comprimento, devemos ter a combinação

\begin{equation} [L] = [c^xG^y\hbar^z] = [L]^{x+3y+2z}[M]^{-y+z}[T]^{-x-2y-z}, \end{equation}

uma vez que as constantes de permissividade e de Boltzmann não contribuem. Resolvendo o sistema de equação acima encontramos

\begin{equation} x = -3/2,\ y = 1/2,\ z = 1/2. \end{equation}

Definindo-se então a quantidade

\begin{equation} l_{\text{P}} = \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}, \end{equation}

chamado comprimento de Planck, nós concluímos que qualquer medida de comprimento pode ser expressa como um múltiplo do comprimento de Planck. Prosseguindo da mesma forma para as unidades de massa e tempo, encontramos os sistemas de equações

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x+3y+2z=0\\ -y+z=1\\ -x-2y-z=0 \end{aligned} \right. \end{equation}

e

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x+3y+2z=0\\ -y+z=0\\ -x-2y-z=1 \end{aligned} \right. \end{equation}

respectivamente, o que nos dá as soluções

\begin{equation} x = 1/2,\, y = -1/2,\, z = 1/2\ \text{ e }\ x=-5/2,\,y=1/2,\,z=1/2 \end{equation}

e por consequência as seguintes quantidades:

Nome Dimensão Expressão Valor em unidades SI
Comprimento de Planck13 \([L]\) \(l_\text{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}\) \(\SI{1.616229(38)\times 10^{-35}}{\meter}\)
Massa de Planck14 \([M]\) \(m_\text{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar c}{G}}\) \(\SI{2.176470(51)\times 10^{-8}}{\kilogram}\)
Tempo de Planck15 \([T]\) \(t_\text{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}}\) \(\SI{5.39116(13)\times 10^{-44}}{\second}\)

De forma análoga, para carga devemos ter

\begin{align} [Q] &= [c^x\hbar^y(4\pi\varepsilon_0)^z]\\ & = [L]^{x+2y-3z}[M]^{y-z}[T]^{-x-y+2z}[Q]^{2z}\\ \implies& x=1/2,\,y=1/2,\,z=1/2, \end{align}

e para a temperatura

\begin{align} [\Theta] &= [c^xG^y\hbar^z k_\text{B}^w]\\ &= [L]^{x+3y+2z+2w}[M]^{-y+z+w}[T]^{-x-2y-z-2w}[\Theta]^{-w}, \end{align}

o que implica na solução

\begin{equation} x=5/2,\,y=-1/2,\,z=1/2,\,w=-1, \end{equation}

resultando nas quantidades

Nome Dimensão Expressão Valor em unidades SI
Carga de Planck \([Q]\) \(q_\text{P}=\sqrt{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\) \(\SI{1.875546022(12)\times 10^{-18}}{\coulomb}\)
Temperatura de Planck \([\Theta]\) \(T_\text{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}}\) \(\SI{1.41680(33)\times 10^{32}}{\kelvin}\)

Podemos ver como as unidades de Planck podem simplificar as equações observando alguns exemplos:

  Unidades SI Unidades de Planck
Lei da gravitação de Newton \(F = -G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\) \(F=-\dfrac{m_1m_2}{r^2}\)
Lei de Coulomb \(F=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}\) \(F=-\dfrac{q_1q_2}{r^2}\)
Equação de Einstein \(G_{ab}=8\pi G T_{ab}\) \(G_{ab}=8\pi T_{ab}\)
Invariante de Energia da Relatividade Especial \(E^2=m^2c^4+p^2c^2\) \(E^2=m^2+p^2\)
Entropia de Boltzmann \(S=k_\text{B}\log\Omega\) \(S=\log\Omega\)
Entropia de Bekenstein-Hawking \(S_\text{BH}=\dfrac{A_\text{BH}k_\text{B}c^3}{4\hbar G}\) \(S_\text{BH}=\dfrac{A_\text{BH}}{4}\)

Observações

É importante enfatizar dois fatos:

  1. A escolha de um sistema natural de unidades é a normalização de um pequeno conjunto de constantes (torná-las unitárias e adimensionais); contudo, não é possível normalizar quaisquer conjunto de constantes simultaneamente. Por exemplo, não podemos normalizar simultaneamente a massa do elétron e a massa do próton, pois assim estaríamos afirmando que ambos possuem a mesma massa. Definindo-se a massa do elétron como sendo igual a um, a massa do próton deve ser \(\approx \num{1836.153}\);
  2. A despeito do fato de que não é possível normalizar qualquer conjunto de constantes, ainda existem várias possibilidades de normalização: por exemplo,
    • Em Relatividade Geral é comum escolher simplesmente \(c=1\) e \(G=1\) quando não se lida com sistemas quânticos; este sistema é conhecido como unidades geometrizadas;
    • Em unidades de Planck, às vezes é conveniente escolher \(8\pi G=1\) ao invés de \(G = 1\): o sistema de unidades resultante é conhecido como unidades de Planck reduzidas;
    • Em Cromodinâmica Quântica (QCD), a teoria das interações fortes, uma escolha é \(c = m_{\text{p}} = \hbar = k_{\text{B}} = 1\), onde \(m_{\text{p}}\) é a massa do próton.

Conclusão

Sistemas de unidades são importantes não só na física teórica, funcionando na verdade como uma forma de se passar informação de forma não ambígua. Para mostrar a importância dos sistemas de unidades, vale mencionar um trecho do relatório que analisa a falha da missão Mars Climate Orbiter16:

"the fact that the angular momentum (impulse) data was in English, rather than metric, units, resulted in small errors being introduced in the trajectory estimate over the course of the 9-month journey. At the time of Mars insertion, the spacecraft trajectory was approximately 170 kilometers lower than planned. As a result, MCO either was destroyed in the atmosphere or re-entered heliocentric space after leaving Mars’ atmosphere."

Ou seja, a falha na missão ocorreu devido à uma discrepância entre a saída de uma parte do software, que produzia resultados no sistema de unidades padrão dos Estados Unidos, com outra cuja entrada deveria estar no Sistema Internacional.