Notação indicial para tensores

  • Geometria Diferencial
  • Álgebra Linear

A convenção de soma de Einstein é uma notação que implica uma soma sobre os índices repetidos em uma expressão. Isto simplifica consideravelmente cálculos e equações nas Relatividade Espacial e Geral, devido à brevidade das expressões.

Na Relatividade Restrita, de uma forma geral estamos interessados em transformações entre sistemas de coordenadas do espaço-tempo, denotado por um vetor \(\vec{x}\in\mathbb{R}^{4}\) (daqui pra frente vamos considerar \(V = \mathbb{R}^4\)):

\begin{equation} \vec{x} \equiv x^{\mu} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}). \end{equation}

Observe que ao invés de escrever \(x^{0}\), \(x^{1}\), \(x^{2}\), \(x^{3}\) cada vez que quisermos no referir às componentes do vetor \(\vec{x}\), nós escrevemos simplesmente \(x^{\mu}\), onde o índice sobrescrito representa qualquer uma das componentes (\(\mu = 0, 1, 2, 3\)). Por exemplo, a transformação de Lorentz \(\Lambda\) de um vetor qualquer \(\vec{A}\), \(\vec{A}' = \Lambda\vec{A}\) pode ser escrita na forma matricial

\begin{equation} \begin{pmatrix} {A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda^{0}_{\phantom{0}0} & \Lambda^{0}_{\phantom{0}1} & \Lambda^{0}_{\phantom{0}2} & \Lambda^{0}_{\phantom{0}3}\\ \Lambda^{1}_{\phantom{1}0} & \Lambda^{1}_{\phantom{1}1} & \Lambda^{1}_{\phantom{1}2} & \Lambda^{1}_{\phantom{1}3}\\ \Lambda^{2}_{\phantom{2}0} & \Lambda^{2}_{\phantom{2}1} & \Lambda^{2}_{\phantom{2}2} & \Lambda^{2}_{\phantom{2}3}\\ \Lambda^{3}_{\phantom{3}0} & \Lambda^{3}_{\phantom{3}1} & \Lambda^{3}_{\phantom{3}2} & \Lambda^{3}_{\phantom{3}3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3} \end{pmatrix} \label{eq:transformacao-lorentz-matricial} \end{equation}

Na notação indicial, a equação \eqref{eq:transformacao-lorentz-matricial} pode ser escrita em uma forma mais compacta:

\begin{equation} {A'}^{\mu} = \sum_{\nu=0}^{3}\Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}A^{\nu}. \label{eq:transformacao-lorentz-indicial} \end{equation}

A equação \eqref{eq:transformacao-lorentz-indicial} pode ser escrita em uma forma ainda mais compacta, se adotarmos uma regra conhecida como convenção de soma de Einstein:

Se o mesmo índice aparecer uma única vez sobrescrito e uma única vez subscrito em qualquer termo de uma equação, deve ser assumido que tal termo deve ser somado sobre todos os valores possíveis desse índice.

Usando essa convenção, a equação \eqref{eq:transformacao-lorentz-indicial} é escrita simplesmente por

\begin{equation} {A'}^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} A^{\nu}. \end{equation}

Observe a presença do índice \(\nu\) subscrito no termo contendo \(\Lambda\) e sobrescrito no termo contendo \(A\). Em contraste, nós não assumimos que o índice \(\mu\) é somado, uma vez que ele aparece apenas uma vez em cada termo, e apenas sobrescrito. Lembre-se também que o posicionamento reflete a estrutura tensorial do objeto (\(A^{\mu}\) e \(A_{\mu}\) denotam quantidades distintas): \(A^{\mu}\in V\), \(A_{\mu}\in V^{\ast}\) e \(\Lambda\in V\otimes V^{\ast}\).

Métrica Vamos definir um tensor \(\eta\) cujas componentes são dispostas na forma da matriz quadrada

\begin{equation} \eta \equiv \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{equation}

Essa matriz pode ser utilizada para definir um produto escalar entre dois vetores \(\vec{A}, \vec{B}\in V\), da seguinte forma:

\begin{equation} \vec{A}\cdot\vec{B} = \eta_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}. \end{equation}

Dessa forma, o módulo quadrado de um vetor \(\vec{A}\) é escrito como

\begin{equation} A^{2} = \vec{A}\cdot\vec{A} = \eta_{\mu\nu}A^{\mu}A^{\nu} \end{equation}

Delta de Kronecker. O delta de Kronecker \(\delta^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}\) é o análogo tensorial da aplicação identidade

\begin{align*} \textrm{Id}:V&\to V\\ v&\mapsto v \end{align*}

do espaço vetorial. Em componentes, ele pode ser escrito na seguinte forma matricial:

\begin{equation} \textrm{Id}\equiv \delta^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation}

Por exemplo, dada uma transformação de Lorentz \(\Lambda\), a equação \(\Lambda^{-1}\Lambda=\textrm{Id}\) pode ser escrita na forma indicial como

\begin{equation} {(\Lambda^{-1})}^{\mu}_{\phantom{\mu}\alpha}\Lambda^{\alpha}_{\phantom{\alpha}\nu} = \delta^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}, \end{equation}

onde é assumida implicitamente a soma sobre todos os valores possíveis de \(\alpha\).

Sendo equivalente a aplicação identidade, a soma sobre um dos índices do delta de Kronecker é equivalente a substituir(renomear) o valor do índice somado pelo valor do outro índice do delta:

\begin{equation} \delta^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}A^{\nu} = A^{\mu},\ \delta^{\mu}_{\phantom{\mu}\alpha}\eta_{\mu\nu}=\eta_{\alpha\nu},\cdots \end{equation}

Índices livres e somados contraídos

considere a equação vetorial

\begin{equation} {p^\prime}^{\mu} + {q^\prime}^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}p^{\nu} + \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\alpha}q^{\alpha}. \label{eq:equacao-tensorial-teste} \end{equation}

Ela representa um conjunto de quatro equações, cada uma correspondendo a uma das componentes do vetor (\(\mu=0,1,2,3\)). Note também as somas implícitas nos índices \(\nu\) e \(\alpha\). O índice \(\mu\) aparece em todos os termos, e em nenhum deles ele aparece somado. Temos a liberdade de escolher qualquer valor para \(\mu\), a fim de especificar a componente desejada da equação. O índice \(\mu\) é chamado índice livre.

Por outro lado, o índice \(\nu\) no primeiro termo do lado esquerdo da equação \eqref{eq:equacao-tensorial-teste} aparece sobrescrito e subscrito, e portanto implica uma soma: não podemos especificar um valor a esse índice, uma vez que a soma se dá sobre todos os valores possíveis:

\begin{equation} \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}p^{\nu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}0}p^{0} + \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}1}p^{1} + \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}2}p^{2} + \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}3}p^{3} \end{equation}

Nesse caso dizemos que \(\nu\) é um índice somado, contraído ou mudo.

Cuidados a serem tomados

É preciso ficar atento a alguns fatos para escrever uma equação tensorialmente correta.

Número de índices livres
não faz sentido adicionar termos com um número diferente de componentes, já que eles não pertencem ao mesmo espaço vetorial. Assim, cada termo de uma equação deve apresentar o mesmo número de índices livres, e deve-se usar o mesmo símbolo para eles:
  • Errado: \(A^{2} = \eta_{\mu\nu}A^{\alpha}A^{\beta}\), \(A^{\mu} = B^{\nu}\), \(S^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}\gamma}+v_{\gamma}=T^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}_\gamma}\)
  • Certo: \(A^{2} = \eta_{\mu\nu}A^{\alpha}A^{\beta}\), \(A^{\mu} = B^{\mu}\), \(S^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}\gamma}+v^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}\gamma}=T^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}_\gamma}\)
Renomeando índices mudos
É possível renomear qualquer índice com uma letra diferente, desde que você substitua toda ocorrência desse símbolo ao longo da equação, e não uma letra já utilizada no termo em questão:
  • Errado: \(V^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}V^{\nu}\rightarrow V^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\mu}V^{\mu}\)
  • Certo: \(V^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}V^{\nu}\rightarrow V^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\alpha}V^{\alpha}\)
  • Certo: \(V^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}V^{\nu}\rightarrow V^{\alpha} = \Lambda^{\alpha}_{\phantom{\alpha}\beta}V^{\beta}\)

Se você tiver dúvidas sobre a consistência da equação, escreva as somas explicitamente.