Espaço vetorial (estrutura algébrica)

Um espaço vetorial \(V\) sobre um corpo \(\mathbb{K}\) é um conjunto de objetos que podem ser somados e multiplicados por elementos de \(\mathbb{K}\) de tal forma que a soma de dois elementos de \(V\) é um elemento de \(V\) e a multiplicação de um elemento de \(V\) por um elemento de \(\mathbb{K}\) é um elemento de \(V\) e as seguintes propriedades são satisfeitas:

1. Dados \(x,y,z\in V\), \(x+(y+z) = (x+y)+z\)
2. Existe um elemento \(O\in V\) tal que, para todo \(x\in V\), \(O + x = x + O = x\);
3. Para cada \(x\in V\), existe um elemento \((-x)\in V\) tal que \(x + (-x) = O\);
4. Para quaisquer \(x,y\in V\), \(x+y = y+x\);
5. Para quaisquer \(x,y\in V\) e \(\alpha\in \mathbb{K}\), \(\alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y\);
6. Para quaisquer \(x\in V\) e \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\), \((\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x\)
7. Para quaisquer \(x\in V\) e \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\), \((\alpha\beta)x = \alpha(\beta x)\)
8. Para quaisquer \(x\in V\), \(ex = x\), onde \(e\) é o elemento neutro de \(\mathbb{K}\)
9. Um espaço vetorial precisa ser definido sobre um corpo
10. Também denota-se o espaço vetorial definido acima por \(V_{\mathbb{K}}\)
11. Quando \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) dizemos que o espaço vetorial é real, enquanto \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) define um espaço vetorial complexo.